提高思维水平

介绍

科学方法论最早是西方人发现的，但绝不是只有西方人才能运用。以前我们没有自己发现科学方法论，但这并不妨碍我们现在努力学习科学、发展科学。种一棵树最好的时间是十年前，其次是现在。行善永远不会太晚。科学是人类最大的福祉。

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上次我们谈到（），科学的力量最终在于两种方法论，逻辑系统和实验试错。前者源自欧几里得几何学，后者源自文艺复兴时期的科学家。

这就引出了一个问题，中国古代科学又如何呢？比如有网友问（）：

“很难想象，几千年自我意识的西方古代科学和几千年自发的中国古代科学能够相提并论。直到现代，他们才占了先机！”

基本答案是：这个想法的前提是错误的。总体来说，西方古代科学比中国好得多！

这个判断可能会让很多人感到惊讶。中国古代不是有很多领先世界数百年的科技成果吗？

这里的关键是区分“科学”和“技术”。中国古代确实有很多领先的科技成果，但大部分都是技术，比如四大发明。就科学而言，总体上远远不如西方。

很多人的第一反应可能是列出中国古代的许多科学成就。其实我一直说这些都很好，是对人类的重要贡献。但你千万不要以为说一件事是好，就意味着另一件事是坏的。如果你仔细了解西方古代科学，你会发现他们的成就更高。

最典型的就是数学的公理体系，它是数学的基础。在这方面，欧几里得的《几何原本》是无与伦比的。其他文明没有类似的东西，也没有人在这个层面上思考过。

《几何原理》

什么是公理系统？如果学过平面几何，就会知道公理体系是一套思维方法：首先给出几个定义和公理。这些定义和公理应该尽可能简单和不言自明，然后根据这些定义和公理进行推理。推理的结果称为定理。

真正令人惊讶的是，推理的结果可以完全不明显，但却与原始公理一样可靠。回想一下上次解释的“圆的五个点”！只要你承认平面几何的公理，比如“两点确定一条直线”，你就会承认五点共圆，尽管这个结论远非直观。

五点围成一个圆

这是人类历史上最大的震撼之一：从常识性的公理出发，可以推导出完全超越常识的定理。

事实上，现在所有的数学著作都是这样写的：先给出几个定义和公理，然后进行一步一步的推理，一一证明定理。简而言之，数学的关键是证明。这是数学著作的标准框架，由《几何原本》发明。中国近代有很多杰出的数学家，如陈省身、华罗庚、陈景润、张益唐等。他们都在这样的框架内工作，他们的结果在这样的框架内证明了新的定理。

现代人已经习惯了这个框架，就像空气和水一样。但别忘了，这个框架也需要发明。如果向框架添加内容是一项了不起的成就，那么发明框架是什么水平呢？

有人会问：中国古代的数学成就从何而来？中国古代数学家不知道怎么证明吗？

答案很有趣。中国古代数学家已经做过证明。例如，祖冲之和祖训父子推导出球体积公式V=(4π/3)r3。这当然是一个重要的成就，但问题是中国古代数学家从来没有列出明确的公理。他们只是从一些他们认为明显正确的命题中推导出其他命题。

祖冲之

这非常不利于思考的深度、讨论和交流、教育的传承。因为，你怎么知道一个命题对于一个人来说是显而易见的，对于那个人来说是否也是显而易见的呢？数学著作中最令人毛骨悚然的一句话就是“显然可以获得”！

在欧几里得之前，古希腊数学就处于这个水平。欧几里得的伟大贡献是他第一次清楚地写出了定义和公理。从此，人类的思维深度与以前不同，人类文明在宇宙中得到了升级！而且，任何读者都可以理解，因为真理是完全公开的，不需要任何神秘的理解或死记硬背。

另一个重要的结论是，一旦列出公理，人们就可以考虑相反的公理。例如，人们曾做出各种努力来推翻欧几里得第五公设“存在且只有一条通过直线外一点的平行线”，最终导致了非欧几里得几何。非欧几里得几何并不意味着欧几里得几何是错误的，而是说如果你修改一个公理，你将得到另一个自洽的系统。

具体来说，有两种类型的非欧几何。一种说法是：可以通过直线外的一点画两条平行线。另一种说法是：任何两条直线都必须相交，不存在平行线。乍一看，它们似乎与现实世界无关，但实际上，通过将它们视为曲面的几何形状，就可以很容易地理解它们。有两条平行线的就如同鞍面上的几何形状，没有平行线的就如同球面上的几何形状。后来，非欧几里得几何成为广义相对论的数学基础，广义相对论是一种看似智力游戏，支撑着描述物理世界的基本理论。

欧几里德几何和非欧几里德几何

这种研究对于古代中国人来说是难以想象的。如果继续走原来的路，再过一千年，中国人也不会考虑非欧几何，因为我们还没有达到欧几里德几何的水平。

了解了这些背景之后，再看看中国古代数学，你会发现大部分都是计算，关系式的证明很少。

例如，三角形的内角和为 180 度。

三角形的内角和是180度

等腰三角形的两个底角相等。

等腰三角形底角相等

三角形的两条边之和大于第三条边。

三角形两条边的和大于第三条边

当两条直线相交时，它们形成相等的垂直角。

垂直角相等

你认为这是常识吗？但这些主张并没有被古代中国人考虑过。你之所以认为它们是常识，是因为你在初中就学过它们。而它们都来自《几何原理》，分别是第一章的第32、5、20、15命题。所以，“数学的关键在于证明”，这在现代人看来是理所当然的事，但古代中国人却不知道！

《几何原理》中还有一些与常识相去甚远的定理，比如第九章的第20个命题：素数有无穷多个。又如本书的最后一个命题：存在且仅有五种正多面体。你知道如何证明它们吗？以后有机会我们会详细介绍。

五种正多面体

回到中国古代数学的计算，一个重要的成就就是数论中的“中国余数定理”。我们在附录中解释这个定理。

中国余数定理很棒，但想想这个名字：我们听说过英国定理、法国定理或意大利定理吗？不，为什么？因为这些国家的定理太多了，数不过来。所以，中国剩余定理一方面说明中国数学有成就，另一方面也说明中国数学成果很少。

再举个例子，祖冲之将圆周率计算到3.1415926是中国古代最著名的数学成就之一。那么，祖冲之是如何计算的呢？

精彩的答案来了：我不知道！

你为什么不知道？基本脉络是：祖冲之之前，三国时代的刘徽算出的圆周率是3.14。我们知道他用的是“切圆术”。祖冲之对刘徽的工作进行了改进。但问题是，如果直接使用切圆法，达到第七位的计算量是非常巨大的，在祖冲之时代应该是不可能的。所以现在只能说祖冲之很可能使用了某种普及的切圆手法，但具体细节我们不得而知。

刘辉

你可能会问，这不是祖冲之自己说的吗？

嘿嘿，故事的重点来了。祖冲之将他的方法写在了《诸书》一书中，该书曾被用作官方数学教科书。在所有官方数学教材中，《诸术》是最难、学习时间最长的。其他教科书只需要两年的时间来学习，而我们需要四年的时间来学习。即使如此，大多数学生仍然学不会，以致学了就丢了。

丢失了...流传下来...所以现在我们不知道祖冲之是如何计算圆周率的。多么错误啊！ （多雾路段）

这是一个笑话。真正的问题在于，中国古代数学没有明确的证明体系，因此难以理解，这给教育传承造成了巨大的困难。

失传的不仅是《朱书》，还有很多其他作品。这样做的后果之一就是，中国古代数学的巅峰出现在宋元时期，而明代数学水平直线下降，几乎没有人能够理解前人的深奥著作。这就是为什么我说古人的科学发展往往是前进一步、后退两步。

开玩笑地说，感觉就像在看武侠小说。随着时代的发展，中国的武术似乎越来越落后。早年使用的是降龙十八掌、六脉神剑等神技。后来连针灸都成了高级武术，连扔石灰都出来了！

让我们回到中国古代的数学计算。在你计算一个数量之前，你必须先知道它的存在，对吗？如果你根本没有概念，那你当然无法计算。现在，我们来指出一些中国古代人从未想到过的概念。

例如，三角函数。我们回顾一下中学数学课本。说到正弦、余弦、正切、余切等三角函数，有没有提到中国数学家？答案是否定的。中国古代数学家从来没有想到过三角函数。三角函数是古希腊数学家在研究球面几何时发明的。

另一个例子是圆锥曲线。我们回顾一下中学数学课本。说到椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线，有没有提到中国数学家？答案是否定的。中国古代数学家从未想到过圆锥曲线，事实上他们研究过的唯一曲线就是圆。古希腊数学家对圆锥曲线进行了深入的研究。例如，在他之后不久的欧几里得和阿波罗尼乌斯都发表了有关圆锥曲线的专门论文。

圆锥截面

不了解这些概念会产生什么后果？

例如，科学革命的开端之一是开普勒的行星运动三定律。第一定律是：行星绕太阳运行椭圆轨道，太阳位于椭圆的一个焦点。如果你不了解椭圆，你肯定无法发现这条定律。

开普勒第一定律

这给我们带来了天文数字的比较。由于篇幅所限，我在这里只指出一点：中国古代主流理论认为地球是平的，从来没有发现地球是一个球。

浑天说

古希腊人从毕达哥拉斯学派开始，认识到地球是一个球，这是他们的主流理论。例如，亚里士多德指出，月食是由于地球在太阳和月亮之间运行而引起的，而月食时地球在月球上的投影总是圆形的，这表明地球是一个球。如果它是任何其他形状，你就不会总是得到圆形阴影。

月食图

我们是否认识到地球是一个球，将对中国和西方后来的命运产生重大影响。哥伦布和麦哲伦航行的前提是他们知道地球是一个球。郑和下西洋并没有给中国带来特别大的利益。原因是我们不知道我们要做什么。

麦哲伦环球航行路线图

以上，我们简单介绍了中西古代数学、天文学的比较。其他领域我不太了解，在科学发展史上，它们都是在数学和天文学之后成熟的。在古代，大家都不是很好，所以没有太多的比较。

有人可能会问：我们在进行这些比较时，是否将世界分为“中国”和“其他”？

事实上，这里可以区分的是“西方”和“他者”。说到古代科学，真正特殊的是西方，而不是中国。是因为西方出了几个科学伟人，不是因为中国人太傻。事实上，中国的表现还不错，比大多数其他文明都要好，但没有本质区别。那么形象的比喻就是：不是你是学渣，而是班里有学神。

有学者是好事还是坏事？从全人类的角度来看，这其实是一件好事。如果没有欧几里得，也许人类到现在才发现公理系统。想想看，这样有多少技术不会被解锁呢？人类将被困在什么水平？因此，我们应该感谢别人创造力的迸发，同时努力为自己做出更大的贡献。这才是正确的生活方式和做事方式。

关于古代科学的故事太多了，我们可以讲一个系列。欢迎感兴趣的朋友参加12月7日的视频观看《答案》年终秀，我将第一个出场，欢迎大家现场提问。

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我们这里要说明的是，就科学而言，古代西方比整个古代中国先进得多。并不是说中国本来领先，后来就落后了；问题是中国从一开始就没有领先。这种落后并非无关紧要，而是造成了严重的后果，例如错失了大航海的机会。

对我来说，这些都是显而易见的事实。但有些人却因为种种原因，极力想否认这些事实。

比如一位网友的问题就很有代表性

():

“看完袁老师关于科技的视频，中国古代有没有科技并不是最重要的，关键是一群文人利用中国没有科技的情况来猛烈批判国民性和民族性。”这是可怕的。”

我对此的回答是：国民性本来就是一个伪问题。科学你一开始不懂，学了以后不就知道了吗？怎么会有“以前做不到，以后也肯定不会做”的民族心态呢？

必须强调的是，科学最大的优点就在于它具有完全普遍性，这才是“自然规律恒常不变，不因尧而存，也不因桀而亡”的真谛。只要认真学习，任何人都可以理解科学原理。这是科学与宗教、玄学、巫术等的根本区别。

科学方法论最早是由西方人发现的，但绝不是只有西方人才能运用。正确的想法是：“这东西太棒了，我想赶紧用起来”。但有些人的想法是：“用了之后就失去信心了，我必须说它不好”。

他们认为谈论西方科学成就会导致西方中心主义。这是一个非常荒唐的误解。鲁迅的“用主义”就是正确的态度。

真正的自信应该来自于努力前进，而不是来自于隐瞒病情。我从不回避谈论中国技术的短板，因为我对它充满信心。

以前我们没有自己发现科学方法论，但这并不妨碍我们现在努力学习科学、发展科学。种一棵树最好的时间是十年前，其次是现在。行善永远不会太晚。科学是人类最大的福祉。

附录：中国剩余定理

数论中的“中国剩余定理”是一种求解线性同余方程的方法。什么是线性同余方程组？典型的问题如下所示：

“有些东西的数量我不知道。当我数三、三时，还剩下两个。当我数五、五时，还剩下三个。当我数七、七时，还剩下两个。什么是？”物体的几何形状？”

这个问题出自中国南北朝时期的《孙子算经》。意思是如果有一个整数x除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2，那么x的最小值是多少？

在金庸的《射雕英雄传》中，黄蓉做了鹰谷测试，告诉读者计算方法如下：

“三人行七十九，五树二十一梅花。

七子重聚半个月后，于白05得知了此事。 ”

这首歌的意思是除以3后的余数乘以70，除以5后的余数乘以21，除以7后的余数乘以15。如果三者之和大于105，则减去105的倍数..

上述问题的计算过程是

2×70 + 3 × 21 + 2 × 15 = 140 + 63 + 30 = 233，

然后

233- 2 × 105 = 23。

如果你检查一下计算，23除以3会留下2，5会留下3，7会留下2。这个答案是正确的。

请仔细想一想，70、21、15这三个数字的含义是什么？ 105这个数字是怎么来的？

简而言之，105 是数字 3、5 和 7 的最小公倍数。70 可以被 5 和 7 整除，除以 3 余数为 1。21 可以被 3 和 7 整除，除以 5余数为 1。15 可被 3 和 5 整除，除以 7 余数为 1。

为什么歌曲公式中的算法可以用这些性质来构造呢？请自己思考一下，作为课后练习。

需要注意的是，这不是中国剩余定理。这只是一个例子，并不是通用算法。通用算法是在《孙子算经》之后约800年，由南宋数学家秦九韶在《数经九章》中给出的。这个算法相当复杂，他称之为“大衍求和技术”。这就是中国剩余定理。

其实，上面这首歌出现的时间很晚，是明代数学家程大位写的。所以，《射雕英雄传》中提到的这首歌，其实属于穿越。 《中国古代重要科学技术发明创造》中有中国剩余定理，称为线性同余方程的解法，属于上一章《科学发现与创造》第25条。