2022年中欧数学奥林匹克个人赛第二题是：设置为正整数。 A 和 B 两个人分别拿着一叠带有序列号的卡片来玩游戏。规则如下：首先洗牌，然后A先开始，双方轮流。玩游戏。在每一轮中，当前玩家首先查看所有牌上的数字。如果最上面的牌上的数字是 ，他可以拿起牌堆中的前一张牌，重新排序并将它们放回牌堆中。如果顶牌上的数字仍然是 ，则游戏结束，对手获胜。 .如果上述卡牌发生变化，则进入对手的回合。那么，从最初的洗牌来看，哪一方有获胜策略呢？

分析：玩家的操作相当于三国杀诸葛亮中使用的技能“观星”。这个问题很有趣。其实测试的是三国杀中的观星和顶级控制技能（咳咳，好像跑题了）。 “观星”一定是一张好牌。越多，就越强。这里有一种特殊的情况，就是如果牌堆顶是1，那么无论轮到谁，都只能看1张牌，然后放回去，谁发就谁（没得选）。所以如果玩家想赢，如果他能看到1，他就会控制1在上面。直接“陷害”对手；如果你没有看到1，你必须让你的对手“凝视”并看到尽可能少的牌。

分析：经过最初的洗牌，B当时有必胜的策略；当时双方都没有必胜的策略，要看牌组；当时，A有一个必胜的策略。证明如下： 这副牌最上面的牌上的数字是 集合是，最上面的牌就是“牌堆顶”，拿起这张牌 将前面的牌堆叠起来，重新排序然后放入的操作回到堆里就是“观星”。首先，如果牌堆顶牌的数字是1，则当前玩家只能将这1张牌放回牌堆，游戏结束。 ，对手获胜。因此，经过最初的洗牌后，如果，则 B 获胜。

这时，如果，那么A可以将数字1的牌放回牌堆顶，这样轮到B时，B只能将1号牌放回牌堆顶，A获胜。当，且下一张牌为 1 时，若 A 将牌置于牌堆顶，则 B 直接获胜；如果A将剩余的牌放在牌堆顶，那么轮到B时，B一定能将1放在牌堆顶并获胜。此时，双方都没有必胜的策略。

当时我们用的是逆向数学归纳法。如果，那么A只需将1放在牌堆的顶部即可。轮到B的时候，B只能放1，所以A肯定赢。

如果，如果，那么A只需将1放在牌堆顶即可获胜；如果，那么A可以放置2作为这副牌的前两张牌。当轮到B时，B只能将2放在牌堆的顶部。最高，所以 A 获胜。

假设A当时有必胜策略，考虑一下情况。

记住，如果，那么A只需要把1放到牌堆顶就赢了；如果 1" data-formula-type="inline-equation" style="">，则 A_{m-1} 中最多有一个数大于和小于，则至少有一个数大于，记为 则A会被放到牌堆的最上面，并且是牌堆中的第二到第三张牌，这样，当轮到B“看星星”的时候，B就可以了。只将其中一张放在卡片的顶部桩，记为，则由归纳假设可知A有必胜策略。